Méthode de Benjamini-Hochberg (BH) Contexte

La méthode BH est utilisée pour contrôler le Faux Taux de Découverte (False Discovery Rate, FDR).
Problème adressé : Lorsque plusieurs tests sont effectués, la probabilité de faux positifs augmente.
FDR : Proportion de faux positifs parmi tous les résultats rejetés.

Objectif de la méthode BH

Contrôler le FDR au niveau spécifié $\alpha$.
Réduire les faux positifs tout en maintenant une bonne puissance statistique.
Applicable à des tests multiples indépendants ou faiblement corrélés.

Étapes de la méthode BH

1. Trier les $p$-values

   Classer les $p$-values obtenues ($p_1, p_2, \dots, p_m$) en ordre croissant. Associer un rang ($i$) à chaque $p$-value.

2. Calculer le seuil ajusté pour chaque test

   Utiliser la formule suivante pour chaque rang $i$ : pcritique,i=im⋅α pcritique,i​=mi​⋅α où : $i$ : Rang du test. $m$ : Nombre total de tests. $\alpha$ : Niveau de contrôle souhaité du FDR.

3. Comparer chaque $p$-value au seuil ajusté

   Identifier le plus grand rang $k$ tel que : pk≤pcritique,k pk​≤pcritique,k​

4. Rejeter $H_0$ pour les $p_1, \dots, p_k$

   Tous les tests ayant des $p$-values inférieures ou égales à $p_k$ sont significatifs.

Exemple Données

$m = 5$ tests, $\alpha = 0.05$.
$p$-values observées : $0.01, 0.03, 0.04, 0.10, 0.20$.

Étape 1 : Trier les $p$-values

Ordre croissant : $p_1 = 0.01, p_2 = 0.03, p_3 = 0.04, p_4 = 0.10, p_5 = 0.20$.

Étape 2 : Calculer les seuils ajustés

$p_{\text{critique}, i} = \frac{i}{m} \cdot \alpha$ :
    $p_{\text{critique}, 1} = \frac{1}{5} \cdot 0.05 = 0.01$.
    $p_{\text{critique}, 2} = \frac{2}{5} \cdot 0.05 = 0.02$.
    $p_{\text{critique}, 3} = \frac{3}{5} \cdot 0.05 = 0.03$.
    $p_{\text{critique}, 4} = \frac{4}{5} \cdot 0.05 = 0.04$.
    $p_{\text{critique}, 5} = \frac{5}{5} \cdot 0.05 = 0.05$.

Étape 3 : Comparer $p$-values et seuils

$p_1 = 0.01 \leq 0.01$ (rejeter $H_0$).
$p_2 = 0.03 \leq 0.02$ (rejeter $H_0$).
$p_3 = 0.04 \leq 0.03$ (rejeter $H_0$).
$p_4 = 0.10 > 0.04$ (ne pas rejeter $H_0$).
$p_5 = 0.20 > 0.05$ (ne pas rejeter $H_0$).

Étape 4 : Résultat

Rejeter $H_0$ pour les trois premiers tests ($p_1, p_2, p_3$).

Avantages de la méthode BH

Plus puissante que la correction de Bonferroni, car elle contrôle le FDR au lieu de réduire directement $\alpha$.
Pratique dans les analyses exploratoires avec un grand nombre de tests (par ex. génétique, neuro-imagerie).

Limitations

Suppose une indépendance ou une faible corrélation entre les tests.
Moins conservatrice : peut tolérer quelques faux positifs.